田上 真准教授

准教授

田上 真

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いろんな空間の中の良い有限点配置の数学的研究

代数的組合せ論は純粋数学と応用数学の丁度中間にあるような分野です。純粋数学としては群論、グラフ理論、 数論等、また応用数学としてはコード、デザイン、ネットワーク等と関係しています。私は代数的組合せ論の中でも、主にAssociation Schemeとそれに付随するBose-Mesner代数、及びTerwilliger代数を研究しており、代数的組合せ論は、これら代数の表現論を用いて、Association Scheme上の“良い”有限点配置を探します(符号理論、暗号理論などはこの観点から代数的組合せ論的に研究されます)。例えば下の図1、図2はAssociation Schemeの例で、図1の赤い4点はその中での数学的に良い有限点配置と言えます(なぜでしょうか?)。また数学の一つの大きな分野として群論と呼ばれるものがあり、歴史的にはÉvariste Galois(1811-1832)による5次以上の一般代数方程式の代数的非可解性の証明が有名ですが、Association Schemeは群論、特に可移置換群の公理を自然に拡張した概念で、群なしの群論とも言われており、応用数学的な側面だけでなく、純粋数学的にも興味深い研究対象になっています。
上記の理論(一般にDelsarte理論と呼ばれる)は連続空間上に拡張されており、特に球面上のコード、デザイン理論とよばれています。例えば、一つの固定した球に同じ大きさの球をいくつくっつけることが出来るか?というKissing Number問題(3次元の場合にはNewton-Gregoryの13球問題として有名)は、この理論を使って解かれます。また球デザインは、球面上の点配置でポテンシャルエネルギーを最小にするものとして、数学的だけでなく化学的にも興味のある対象として、研究が行われています。

図 1 ペテルセングラフ
図 1 ペテルセングラフ
図 2 正20面体
図 2 正20面体
図 1 図3 9ボールのラック
図3 9ボールのラック

田上 研究室

この研究室は情報工学部の中にある「数学」の研究室で、純粋数学である群論、数論、グラフ理論などを学んだり、その数学理論を使って、符号、暗号理論などの研究を行ったりします。純粋数学的な考えや研究方法などをかなり強く実践しますので、この研究室で学べば、論理力がかなり鍛えられると思います。また学部1~2年で学んだ数学、解析、線形代数、離散数学などで学んだ知識が、工学にどのように役立つのかを実践的に学んでいきます。数学の研究ですが、理論だけでなく応用数学的側面から、コンピュータ計算を行います。用いるソフトウェアはMaple、Magmaなどで、これらを用いて、主に良い有限点配置を探索します。

 

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